ان الصعوبة في استيعاب اللانهاية يسببه القصور في العقل البشري الذي برمجته تجارب الحياة بحيث يحسن التعامل مع مواقف وشؤون الحياة اليومية (الحياة الاجتماعية ، العمل ...الخ). فإذا شعرت بالانزعاج من موضوع اللانهايات فهذا طبيعي لأن دماغك بحاجة لإعادة برمجة ليقبل هذه المفاهيم الجديدة كليا.
المفارقة
مفهوم المفارقة يختلف بحسب السياق ولكنني سأعرفه هنا على ان المفارقة هي التناقض الظاهري، أي الفكرة التي تبدو من النظرة الاولى متناقضة مع ذاتها وغير منطقية ولكن اذا استطعت إمعان التفكير فيها الى حد فهمها فإنك سترى صحتها.
اللانهاية
قبل ان نبدأ في مفارقات اللانهاية علينا تصور اللانهاية، وان كان تصورها غير ممكن ولكن، على الاقل، الاحاطة بمفهومها يجعل برمجة عقولنا لفهم اللانهاية وبالتالي فهم مفارقات اللانهاية اسهل.
اللانهاية ليست رقما بحد ذاته ولا يمكنك ان تجدها على خط الاعداد ولكنها وصف، مثلا نقول عندنا عدد لانهائي من كذا وكذا، في الحقيقة وفي ضوء المعرفة الحالية قد يكون الكون لانهائي في المساحة يمتد بلاحدود في كل الاتجاهات ذلك يعني مسافات لاتنتهي ابدا، تخيل سفينة فضاء تنطلق من الارض لتمضي محاولةً الوصول الى حدود الكون السفينة ستطير للابد ولن تصل لنهاية الكون مهما كانت سرعتها ومهما كانت المدة الزمنية التي تسير بها حتى لو بدأت المسيرة منذ بداية خلق الكون.
فكر بأكبر رقم تعرفه تريليون او كوارديليون انا شخصيا اكبر رقم أعرفه هو غوغل بلكس الرقم غوغل يكتب على هذا الشكل 10100 هذا يعني واحد وعلى يمينه مئة صفر وهو اكبر من عدد الذرات الموجودة في جميع المجرات المعروفة لنا وعدد الذرات في كل المجرات المعروفة والتي تم رصدها هو: 1080 هكذا يقدره العلماء اما الرقم غوغل بلكس يمكن كتابته هكذا 1010100 هذايعني واحد وعلى يمينه غوغل اصفار بحيث انك لو حاولت كتابته لاحتجت ان تكتب كل صفر منه على ذرة من ذرات الكون المرصود ولن تكفيك جميع الذرات، أرقام كبيرة كهذه تفقد معناها وتبدو اقرب للسخافة ولكن الحقيقة ان كل تلك الارقام لاتقترب حتى مجرد الاقتراب من اللانهاية بل – ومن وجهة نظر اللانهاية – كل تلك الارقام تتساوى مع الصفر، طبعا فتلك الارقام محدودة على عكس اللانهاية، نظريا يمكنك ان تكتب ترليون صفحة اذا توفر لك الوقت لكنك ابدا لن تتمكن من كتابة عدد لانهائي من الصفحات.
بعد استيعابك لمفهوم اللانهاية ستجد نفسك في مواجهة مجموعة من المفارقات، ولا عجب فاللانهاية مفهوم جدبد على العقل.
اللانهاية ليست رقما بحد ذاته ولا يمكنك ان تجدها على خط الاعداد ولكنها وصف، مثلا نقول عندنا عدد لانهائي من كذا وكذا، في الحقيقة وفي ضوء المعرفة الحالية قد يكون الكون لانهائي في المساحة يمتد بلاحدود في كل الاتجاهات ذلك يعني مسافات لاتنتهي ابدا، تخيل سفينة فضاء تنطلق من الارض لتمضي محاولةً الوصول الى حدود الكون السفينة ستطير للابد ولن تصل لنهاية الكون مهما كانت سرعتها ومهما كانت المدة الزمنية التي تسير بها حتى لو بدأت المسيرة منذ بداية خلق الكون.
فكر بأكبر رقم تعرفه تريليون او كوارديليون انا شخصيا اكبر رقم أعرفه هو غوغل بلكس الرقم غوغل يكتب على هذا الشكل 10100 هذا يعني واحد وعلى يمينه مئة صفر وهو اكبر من عدد الذرات الموجودة في جميع المجرات المعروفة لنا وعدد الذرات في كل المجرات المعروفة والتي تم رصدها هو: 1080 هكذا يقدره العلماء اما الرقم غوغل بلكس يمكن كتابته هكذا 1010100 هذايعني واحد وعلى يمينه غوغل اصفار بحيث انك لو حاولت كتابته لاحتجت ان تكتب كل صفر منه على ذرة من ذرات الكون المرصود ولن تكفيك جميع الذرات، أرقام كبيرة كهذه تفقد معناها وتبدو اقرب للسخافة ولكن الحقيقة ان كل تلك الارقام لاتقترب حتى مجرد الاقتراب من اللانهاية بل – ومن وجهة نظر اللانهاية – كل تلك الارقام تتساوى مع الصفر، طبعا فتلك الارقام محدودة على عكس اللانهاية، نظريا يمكنك ان تكتب ترليون صفحة اذا توفر لك الوقت لكنك ابدا لن تتمكن من كتابة عدد لانهائي من الصفحات.
بعد استيعابك لمفهوم اللانهاية ستجد نفسك في مواجهة مجموعة من المفارقات، ولا عجب فاللانهاية مفهوم جدبد على العقل.
مفارقة هيلبرت
مفارقة هيلبرت سميت نسبة الى الرياضياتي الألماني ديفيد هيلبرت مبتكر هذه المفارقة، والمفارقة بالشكل التالي : افرض انك تمتلك فندقا به عددا لانهائيا من الغرف، وفي احد الايام كانت الاعمال جيدة جدا، فكان في ذلك اليوم في كل غرفة نزيل واحد هذا يعني ان عندك عدد لانهائي من الزبائن وهذا يعني ايضا ان الفندق ممتلىء تماما لايتسع لأي نزلاء جدد هذا يبدو بديهيا ومفهوما لحد الان بما ان كل الغرف محجوزة فلايهم اذا كان عندك عدد لانهائي من الغرف لن تستطيع استقبال أي نزيل جديد، في الحقيقة هيلبرت يقول ان هذا ممكن، لايزال الفندق باستطاعته استيعاب نزيل جديد رغم أن جميع الغرف محجوزة!
حل هذا اللغز يكون بنقل النزيل في الغرفة الاولى الى الغرفة الثانية والنزيل في الغرفة الثانية الى الغرفة الثالثة وهكذا لتبقى الغرفة الاولى خالية وتسع النزيل الجديد.
و اذا خطر ببالك السؤال : ماذا سيحصل للنزيل في الغرفة الاخيرة اليس من المفروض ان يخرج من الفندق نهائيا؟ فالجواب لايوجد غرفة اخيرة وهذا معنى اللانهاية، طبعا لو قمنا بنفس التجربة على عدد محدود من الغرف فمهما كان عدد الغرف كبيرا فلن يتسع الفندق الممتلئ لنزيل جديد ومن هنا تأتي قوة اللانهاية، واذا خذلتك قوة الحدس لفهم المعضلة فيمكنك ان تلجا للرياضيات والمعادلة بسيطة.
عندنا عدد لانهائي من الغرف ونقصنا واحدة (التي سنعطيها للنزيل الجديد) يتبقى عندنا عدد لانهائي من الغرف ، فمهما اخذت من اللانهاية تبقى كما هي ولهذا نسميها لانهاية.
يمكننا ان نأخذ مفارقة هيلبرت الى مستويات أبعد باستخدام نفس المنطق الرياضي، دعنا نفرض انه بينما الغرف اللانهائية ممتلئة كلها جاء عدد كبير من النزلاء الجدد، فلنقل عدد لانهائي من النزلاء الجدد، فهل يمكننا ايجاد متسع لهم؟ المفروض نعم، الفكرة هنا اننا لوقسمنا اللانهاية الى قسمين نحصل على مجموعتين من اللانهاية.
فكر بخط الاعداد الحقيقية
خط الاعداد يمتد من سالب لانهاية الى موجب لانهاية فهو – خط الاعداد – على هذا يحتوي على عدد لانهائي من الاعداد الصحيحة السالبة منها والموجبة ضمن مجموعة واحدة لانهائية العناصر، عدد العناصر في مجموعة الاعداد الصحيحة يساوي عدد الغرف في فندق هيلبرت الافتراضي كلاهما لا نهائي، لكن ماذا لو قسمنا خط الاعداد الى قسمين : القسم الاول يحتوي على جميع الاعداد الموجبة (مجموعة الاعداد الموجبة) والقسم الثاني يحتوي على جميع الاعداد السالبة (مجموعة الاعداد السالبة)، والسؤال هو أي المجموعتين أكبر من الاخرى؟ لابد ان كلا المجموعتين متساويتين فالاعداد الموجبة تساوي الاعداد السالبة وهذا صحيح، لكن ايهما أكبر مجموعة الاعداد الموجبة أم مجموعة الاعداد الصحيحة باكملها (كل خط الاعداد السالبة و الموجبة)؟ والجواب كلاهما متساويان، إن الاعداد الموجبة لوحدها تتساوى في عددها الاعداد السالبة والموجبة معا! وطبعا نفس الشيء ينطبق على الاعداد السالبة فإن عدد الاعداد السالبة يساوي عدد الاعداد السالبة والموجبة معا، ومجددا الحدس سيخذلنا هنا وأقصد بالحدس القدرة على التخيل، فبالتالي نلجا للرياضيات، في الحقيقة يمكنك ان تتأكد من أن أي مجموعتين في الدنيا يمتلكان نفس العدد من العناصر إذا استطعت ان تجد طريفة لمقابلة عناصر كلا المجموعتين، لنطبق هذه القاعدة على مجموعة الاعداد الموجبة ومجموعة الاعداد الصحيحة.
حل هذا اللغز يكون بنقل النزيل في الغرفة الاولى الى الغرفة الثانية والنزيل في الغرفة الثانية الى الغرفة الثالثة وهكذا لتبقى الغرفة الاولى خالية وتسع النزيل الجديد.
و اذا خطر ببالك السؤال : ماذا سيحصل للنزيل في الغرفة الاخيرة اليس من المفروض ان يخرج من الفندق نهائيا؟ فالجواب لايوجد غرفة اخيرة وهذا معنى اللانهاية، طبعا لو قمنا بنفس التجربة على عدد محدود من الغرف فمهما كان عدد الغرف كبيرا فلن يتسع الفندق الممتلئ لنزيل جديد ومن هنا تأتي قوة اللانهاية، واذا خذلتك قوة الحدس لفهم المعضلة فيمكنك ان تلجا للرياضيات والمعادلة بسيطة.
عندنا عدد لانهائي من الغرف ونقصنا واحدة (التي سنعطيها للنزيل الجديد) يتبقى عندنا عدد لانهائي من الغرف ، فمهما اخذت من اللانهاية تبقى كما هي ولهذا نسميها لانهاية.
يمكننا ان نأخذ مفارقة هيلبرت الى مستويات أبعد باستخدام نفس المنطق الرياضي، دعنا نفرض انه بينما الغرف اللانهائية ممتلئة كلها جاء عدد كبير من النزلاء الجدد، فلنقل عدد لانهائي من النزلاء الجدد، فهل يمكننا ايجاد متسع لهم؟ المفروض نعم، الفكرة هنا اننا لوقسمنا اللانهاية الى قسمين نحصل على مجموعتين من اللانهاية.
فكر بخط الاعداد الحقيقية
خط الاعداد يمتد من سالب لانهاية الى موجب لانهاية فهو – خط الاعداد – على هذا يحتوي على عدد لانهائي من الاعداد الصحيحة السالبة منها والموجبة ضمن مجموعة واحدة لانهائية العناصر، عدد العناصر في مجموعة الاعداد الصحيحة يساوي عدد الغرف في فندق هيلبرت الافتراضي كلاهما لا نهائي، لكن ماذا لو قسمنا خط الاعداد الى قسمين : القسم الاول يحتوي على جميع الاعداد الموجبة (مجموعة الاعداد الموجبة) والقسم الثاني يحتوي على جميع الاعداد السالبة (مجموعة الاعداد السالبة)، والسؤال هو أي المجموعتين أكبر من الاخرى؟ لابد ان كلا المجموعتين متساويتين فالاعداد الموجبة تساوي الاعداد السالبة وهذا صحيح، لكن ايهما أكبر مجموعة الاعداد الموجبة أم مجموعة الاعداد الصحيحة باكملها (كل خط الاعداد السالبة و الموجبة)؟ والجواب كلاهما متساويان، إن الاعداد الموجبة لوحدها تتساوى في عددها الاعداد السالبة والموجبة معا! وطبعا نفس الشيء ينطبق على الاعداد السالبة فإن عدد الاعداد السالبة يساوي عدد الاعداد السالبة والموجبة معا، ومجددا الحدس سيخذلنا هنا وأقصد بالحدس القدرة على التخيل، فبالتالي نلجا للرياضيات، في الحقيقة يمكنك ان تتأكد من أن أي مجموعتين في الدنيا يمتلكان نفس العدد من العناصر إذا استطعت ان تجد طريفة لمقابلة عناصر كلا المجموعتين، لنطبق هذه القاعدة على مجموعة الاعداد الموجبة ومجموعة الاعداد الصحيحة.
| الاعداد الموجبة | الاعداد الصحيحة |
| 1 | 1 |
| 2 | -1 |
| 3 | 2 |
| 4 | -2 |
| 5 | 3 |
| 6 | -3 |
كما ترى كلا المجموعتين متساويات يمكننا مطابقة جميع العناصر وبما ان كلا المجموعتين ستستمران للابد فليس علينا ان نقلق من انتهاء احداهما قبل الاخرى فكلتاهما لن تنتهي حتى لو بدت لنا مجموعة الاعداد الصحيحة أكبر من مجموعة الاعداد الموجبة ، كلتا المجموعتين متساويتان وهذا مخالف للبديهة ولكن لايهم بديهاتنا خاطئة وعلينا تغييرها.
بنفس المنطق السابق يمكننا ان نقسم مجموعة الاعداد الموجبة الى مجموعتين، الاعداد الزوجية و الاعداد الفردية وكلا المجموعتين لانهائيتين فعندنا وبلا شك عدد لانهائي من الاعداد الزوجية ومثل ذلك بالنسبة للاعداد الفردية ، أيضا بنفس طريقة الاثبات السابقة سنصل الى ان الاعداد الزوجية تساوي الاعداد الصحيحة الموجبة كلها.
بنفس المنطق السابق يمكننا ان نقسم مجموعة الاعداد الموجبة الى مجموعتين، الاعداد الزوجية و الاعداد الفردية وكلا المجموعتين لانهائيتين فعندنا وبلا شك عدد لانهائي من الاعداد الزوجية ومثل ذلك بالنسبة للاعداد الفردية ، أيضا بنفس طريقة الاثبات السابقة سنصل الى ان الاعداد الزوجية تساوي الاعداد الصحيحة الموجبة كلها.
| الاعداد الصحيحة الموجبة | الاعداد الزوجية |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
| 6 | 12 |
يمكننا الان حل احجية الفندق، فعندما يأتيك عدد لانهائي من النزلاء الجدد عليك توزيع النزلاء الموجودين أصلا في الفندق على الغرف التي تحمل ارقاما زوجية ، عدد لانهائي من الغرف ذوات الارقام الزوجية تتسع للعدد اللانهائي من النزلاء المقيمين اساسا ولكن تبقى الغرف ذوات الاعداد الفردية فارفة وبما ان عددها لانهائي ايضا فبوسعها احتواء عدد لانهائي من النزلاء الجدد.
طبعا قصة الفندق هذه مجرد تشبيه القصد منه توضيح مفهوم اللانهاية، وسنتركها الان عند المفارقة التالية.
طبعا قصة الفندق هذه مجرد تشبيه القصد منه توضيح مفهوم اللانهاية، وسنتركها الان عند المفارقة التالية.
مفارقة كانتور*
بعد كل ما مر معنا ربما يبدو الامر وكأن جميع اللانهايات متساوية ولافرق بين لانهاية وأخرى من حيث الحجم.
جورج كانتور رياضياتي الماني وقد اشتغل على اللانهايات وعنده رأي اخر! ، في الحقيقة هذا ليس مجرد رأي، كانتور اثبت ان هناك لانهايات أكبر من لانهايات أخرى وقد سماها "لانهايات غير مـعدودة" على عكس اللانهايات المـعدودة التي مرت معنا حتى الان اللانهايات الغير معدودة لايمكنك كتابة ولا أي عنصر فيها، لهذا السبب ببساطة لن تتمكن من مطابقة اللانهاية الغير معدودة مع اللانهاية المعدودة.
مثال على اللانهايات الغير معدودة الاعداد الغير نسبية الموجودة على خط الاعداد، المشكلة في الاعداد الغير نسبية انه لايمكنك كتابتها مثل الرقم باي Π يكتب اختصارا 3.14 ولكن في الحقيقة الرقم اكبر من ذلك اذا تحرينا المزيد من الدقة يمكننا كتابته هكذا 3.14159265359 وفي الحقيقة هذا الرقم يمتد للانهاية لو شئنا أكبر دقة ممكنة لكتابة Π.
لتوضيح الأمور سنأخذ جميع الاعداد الغير نسبية في الفترة مابين الصفر والواحد.
جورج كانتور رياضياتي الماني وقد اشتغل على اللانهايات وعنده رأي اخر! ، في الحقيقة هذا ليس مجرد رأي، كانتور اثبت ان هناك لانهايات أكبر من لانهايات أخرى وقد سماها "لانهايات غير مـعدودة" على عكس اللانهايات المـعدودة التي مرت معنا حتى الان اللانهايات الغير معدودة لايمكنك كتابة ولا أي عنصر فيها، لهذا السبب ببساطة لن تتمكن من مطابقة اللانهاية الغير معدودة مع اللانهاية المعدودة.
مثال على اللانهايات الغير معدودة الاعداد الغير نسبية الموجودة على خط الاعداد، المشكلة في الاعداد الغير نسبية انه لايمكنك كتابتها مثل الرقم باي Π يكتب اختصارا 3.14 ولكن في الحقيقة الرقم اكبر من ذلك اذا تحرينا المزيد من الدقة يمكننا كتابته هكذا 3.14159265359 وفي الحقيقة هذا الرقم يمتد للانهاية لو شئنا أكبر دقة ممكنة لكتابة Π.
لتوضيح الأمور سنأخذ جميع الاعداد الغير نسبية في الفترة مابين الصفر والواحد.
ونسمي هذا المجموعة {0,1} يدخل في هذا المجموعة بالتأكيد الثلث 1/3 وايضا نصف الثلث 1/6 وغير ذلك ، والسؤال هو اذا اردنا كتابة جميع عناصر المجموعة {0,1} فما هو العنصر الذي سنكتبه اولا؟ لاشك انه اصغر عنصر، وماهو اصغر عنصر؟ هل هو 1/3 ؟ لا طبعا فنصفه اصغر منه، ماذا عن نصف الثلث ؟ لايمكن ايضا فنصفه أصغر منه وكذلك نصف نصفه أصغر من نصفه، وهنا قد تلاحظ نمطا فمهما كان العدد الذي ستبدأ به فان نصفه اصغر منه وهكذا لن تستطيع كتابه أي عنصر وبالتالي لن تستطيع مطابقة المجموعة {0,1} مع مجموعة الاعداد الصحيحة، و بذلك المجموعة{0,1}أكبر من مجموعة الاعداد الصحيحة.
| الاعداد الصحيحة | {0,1} |
| 1 | 0.00000....? |
| -1 | 0.00000....? |
| 2 | 0.00000....? |
| -2 | 0.00000....? |
| 3 | 0.00000....? |
| -3 | 0.00000....? |
لإثبات هذا استخدم جورج كانتور ما يسمى "البرهان القطري" Diagonal Proof، لن نخوض في البرهان القطري الان، لكن لإيضاح الفكرة أكثر فكر بالنجوم على أساس انها مجموعة لانهائية لكنها معدودة على الاقل يمكنك البدء في عدها 1 ، 2، 3 ...... أما اللانهاية الغير معدودة فهي مثل السواد مابين النجوم لانعرف من اين نبدأ العد.
من الجدير بالذكر ايضا أن كانتور اثبت انه حتى اللانهايات الغير معدودة تتفاوت في حجومها ، فمهما كانت اللانهاية الغير معدودة كبيرة ستجد دائما لانهاية
من الجدير بالذكر ايضا أن كانتور اثبت انه حتى اللانهايات الغير معدودة تتفاوت في حجومها ، فمهما كانت اللانهاية الغير معدودة كبيرة ستجد دائما لانهاية
* التسمية من عندي
0 التعليقات:
إرسال تعليق
ملحوظة: يمكن لأعضاء المدونة فقط إرسال تعليق.